Trigonometria

CONTENIDO

• Sistemas de medidas angular

• Conversiones de sistemas de medidas

• Circulo trigonométrico

• Razones trigonométricas de ángulos en posicion normal

• Lineas trigonométricas 

• Signos de las razones trigonométricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

• Definición de identidades trigonométricas

• Identidades trigonométricas principales

• identidades trigonométricas Auxiliares

RESEÑA HISTÓRICA

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega.  El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. 

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. 

El occidente se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

ANGULOS Y SUS MEDIDAS

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

Los ángulos se miden en grados y en radianes. En el sistema sexagesimal la unidad de medida es el grado ° y en el sistema cíclico la unidad de medida de los ángulos es el radián. 

• El Grado: Se define como 1/360 de la rotación total. 

• 1/6 de giro en sentido contrario de las manecillas del reloj.

• 4/9 de giro en el mismo sentido de las manecillas del reloj. 

• El Radián: Se define como la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide igual que un radio. En toda circunferencia hay aproximadamente 6.28 radianes, es decir, 2π radianes.

Un grado sexagesimal es igual a 60 minutos (1°=60´); un minuto es igual a 60 segundos (1´= 60 ")

Ejemplo: Encontrar la medida en grados de cada ángulo y representarlo en posición normal.

Solución: 1/6 x 360 = 60°

Solución: 4/9 x (-360) = -160°

                                                    

CONVERSIONES DE SISTEMAS DE MEDIDAS

Las dos relaciones siguientes permiten calcular en grados la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes de cualquier ángulo medido en grados:

360 grados = 2 π radianes

180 grados = π radianes

Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se divide por 180°.

Ejemplo: Transformar 45 grados a π radianes.

Solución:  45° x π radianes = π radianes

                      180°                    4

Para transformar radianes a grados se multiplican los π radianes por 180° y luego se divide por π radianes.

Ejemplo: Transformar 5 π radianes  a grados sexagesimales.

                                      3

Solución: 5 π radianes  x        180°       = 300°

                     3                         π radianes

CIRCULO TRIGONOMÉTRICO

Es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio mide la unidad. Es una herramienta que se utiliza en conceptos de trigonometría y además nos ayuda a fundamentar las funciones trigonométricas.

Con el círculo trigonométrico podemos obtener el valor de las razones trigonométricas para cierto ángulo, además también se puede utilizar para obtener las identidades pitagóricas.

Para obtener las funciones trigonométricas se toma como base un círculo de radio 1 con centro en el origen, se toma un ángulo medido a partir del eje x positivo y en sentido contrario de las manecillas del reloj.

CIRCULO TRIGONOMÉTRICO Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

                                      

Partiendo del ángulo α y la recta r se obtiene un punto P, si se traza una línea perpendicular desde ese punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB que se denomina seno de α.

Coseno de α

Partiendo del ángulo α y la recta r se obtiene un punto P, si se traza una línea perpendicular desde ese punto y hacia el eje X se obtiene un segmento OA que se denomina coseno de α.

Tangente de α

Una línea tangente es la que solo toca en un punto a la circunferencia.

Cotangente de α

Si trazamos una recta FD que sea tangente al punto F y que toque a la recta OD, FD es cotangente de α.

Cuadrantes del círculo trigonométrico

Si dividimos el círculo en 4 partes iguales a cada parte se le conoce como cuadrante, en cada cuadrante las funciones seno, coseno , tangente y cotangente cambian su valor.

Primer cuadrante

Si aumenta el ángulo α disminuye el valor del coseno y  de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente y del seno.

Segundo cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno, de la tangente y de la cotangente.

Tercer cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno y de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente.

Cuarto cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno y de la tangente pero aumenta el valor del coseno y de la cotangente.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Ángulo en Posición Normal

Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo. En el gráfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ángulos en posición normal, cumpliéndose: a Î IC; b Î IIC; q Î IIIC.
                                                          
Ángulos Cuadrantales

Se va a denominar ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. Las medidas de estos ángulos es siempre múltiplo de 90º.
Estos ángulos no pertenecen a cuadrante alguno (fig. 1)


Ángulos Coterminales 

Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final; y su diferencia de medidas es siempre múltiplo de 360º. (fig.2).

                                 

Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en Posición Normal

Para definir o hallar las R.T. de un ángulo en posición normal; se debe conocer un punto perteneciente a su lado final.
En el gráfico; para "a"; tendremos





Por ejemplo:




Se debe notar que ahora las R.T. pueden tener signo negativo; dependiendo del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado.

 Signos de las R.T.

Dependiendo del cuadrante en el que se ubique un ángulo en posición normal; podemos establecer el siguiente criterio práctico para los signos




Propiedad

Las Razones trigonométricas de los ángulos coterminales son respectivamente iguales.

 R.T. de los Ángulos Cuadrantales

Las R.T. de los ángulos cuadrantales principales se calculan con las mismas definiciones aplicadas a cualquier ángulo en posición normal. El resultado se muestra en el siguiente cuadro:

LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.



El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

                              



Los signos de las funciones trigonométricas varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren, aquí te mostraré que signo tiene cada una en cada cuadrante.

sen α = c.opuesto/hipotenusa

cos α = c.adyacente/hipotenusa

tang α = c.opuesto/ c.adyacente

Primer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.

Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

Segundo cuadrante

En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.

Tercer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.

Cuarto cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Definición de identidades trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Identidades Trigonométricas principales

                                        

Identidades Pares o Impares

sen(-x) = - sen(x)

cos(-x) =  cos (x)

tan(-x) = - tan (x)

cot(-x) =- cot (x)

sec (-x) = sec (x)

csc (-x) = - csc (x)

Identidades trigonométricas auxiliares

                               

Funciones

FUNCIONES

CONTENIDO

RELACIONES Y FUNCIONES 

   Reseña Histórica   par ordenado   producto cartesiano de conjuntos   relaciones binarias   gráfica de relaciones
FUNCIONES DE VARIABLE REAL

Definicióndominio y rango de una función
TIPOS DE FUNCIONES

Clasificación de las funcionesDiscusión de una función
TÉCNICAS DE GRAFICACION

Proceso de graficación de una funcióntrazado de gráficas especiales

OPERACIONES CON FUNCIONES

igualdad de funcionessuma de funcionesdiferencia de funcionesmultiplicación de funcionescociente de funciones composicion de funcionesfuncion biyectivafuncion creciente, decreciente y monótonafuncion inversa
APLICACIONES

RESEÑA HISTORICA

Según García (2001) el término función fue utilizado por primera vez en 1637 por el matemático y filosofo francés René Descartes (1596-1650), él mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan, Descartes lo uso por primera vez para designar una potencia xn de la variable x. 

“En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente”.

En la obra Introduction in Analysis Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. 

“En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china”. 

Según García (2001), hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

“Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x) = x2 - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 32 - 3 • 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(p) = 4”.

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación. Sean X y Y dos conjuntos con elementos cualquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable Y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. 

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x2 - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 - 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función. Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X1 sobre Y.

RELACIONES Y FUNCIONES

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

PAR ORDENADO

Es un conjunto de 2 elementos a  y  b,  que tienen un orden. Al elemento a se lo denomina primera componente y, al elemento  b se lo denomina segunda componente. se lo representa de la siguiente manera:

(a,b) par ordenado

PLANO CARTESIANO

Sean a y b conjuntos no vacíos vamos a dominar producto cartesiano entre a y b, al conjunto de todos los pares osdenados cuya primera componente pertenece al conjunto a, y la segunbda componente pertenecen al grupo b, su representación es:
AxB= {Cx,y) / x € A) ^ (y € b)}

x € A                (x,y) € A x B
y € B

 

A = { ☺, ☻, ♥}

B = {♦,♣}

AxB = {(☺,♦), (☺,♣),(☻,♦),(☻,♣),(♥,♦),(♥,♣)}

N(A) = 3

N(B) = 2

N(AXB) = (N(A) N(B))

DOMINIO DE UNA RELACION

El dominio de una relación son todos los conjuntos del elemento de partida que tiene relación con el conjunto de llegada, su representación simbólica es: DomR

RANGO

Conocido también como co-dominio. Son todos los elementos del conjunto de llegada que tienen relación con el dominio del conjunto de partida. Su representación simbólica es:

rg R.

 

DomR = {♥,☆}

Rg R = {□,◊,Δ}

TIPOS DE FUNCIONES

INYECTIVA.

 F Es una función inyectiva si a cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio, además es necessario que N(A) ≤ N(B).

A = {2,4,6,8}

B = {2,5,7,9,10}

SOBREYECTIVA.

F es una función sobreyectiva si el rango es B, además es necesario que N(A) ≥ N(B)

A = { 6,8,10,12,14}
B = { 1,2,3,4}

GRAFICA

Es el conjunto de puntos o pares ordenados de a son b tales que sus cordenadas (x,y) pertenecen a F.

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

El criterio de la recta vertical dice que una curva en el plano cartesiano representa una función, si cualquier recta vertical intersecta la gráfica, como máximo en un punto.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA

f es inyectiva si para cualquier elección de un número x que pertenece al 
dominio de f, existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras, 
ningún valor y en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio.

Estas funciones también son denominadas uno a uno.

Una función f: X → Y es inyectiva, si y sólo si para cualquier elección
de números x1 y x2, si x1 ≠ x2 en el dominio de f, entonces f (x1) ≠ f (x2),
esto es:

∀x1, x2 ∈ X [(x1 ≠ x2) → ( f (x1) ≠ f (x2))]

FUNCION SOBREYECTIVA

f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados
con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto, el rango de f debe coincidir
con el conjunto de llegada.
Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva. Para concluir que
una función f: X → Y es sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de
llegada Y.

FUNCIÓN CRECIENTE, DECRECIENTE Y MONÓTONA

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo.
.

Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo,
.

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo[a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a,b].

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos(a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamentedecrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

FUNCIONES PARES E IMPARES

Algunas funciones pueden ser simétricas respecto a una recta o a un punto.

Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y, tenemos funciones pares;

mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas,

tenemos funciones impares.

Una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también

está en el dominio y además, f (−x) = f (x).



FUNCION INVERSA

Ya sabes que si f es 1-1 entonces existe su inversa que se denota por f ^–1. 

Debes recordar:

 el dominio de f es el recorrido de f ^–1 el recorrido de f es el dominio de f ^–1  ( x, y ) es un punto de la gráfica de f  y , x ) es un punto de la grá

Funciones

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración Tde un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero)

Numero Reales

RESEÑA HISTÓRICA

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.²En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.

DEFINICIÓN DE NÚMEROS

En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y así resolver los problemas que se representan en nuestro alrededor.

Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas.

Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:

“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”


La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número.

El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina

número.

Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas,

de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva.

De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.

Los números han pasado por un largo proceso de evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales.

Los Números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600.

Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor( encanjamientos sucesivos) y el análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto siendo resultado de las aportaciones por matemáticos como Descartes, Newton, etc.

LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO

Axioma de los números reales

En matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente los axiomas se eligen de entre las consideradas "verdades evidentes" porque permiten deducir las demás fórmulas.

Teoremas de los números reales

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema 
generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego
existe una conclusión, una afirmación matemáticas, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas.

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZONES

La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.

PROPORCIONES

Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:

a/b=c/d o a:b::c:d

Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.

PROPIEDADES

A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a×d=b×c

B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de  los extremos dividido por el otro MEDIO.

b= a×d͟∕c

C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.

a=b×c∕d

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

EJEMPLO

Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?

1/3=1200/x         →     x=1200×3/1          x= $3600

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales.  El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.

Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.

INTERVALOS

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendido entre 2 datos: A y B, se llaman extremos de los intervalos

TIPOS DE INTERVALOS:

Intervalos cerrados.

[ a, b ] = { x € R/ a ≤  x ≤  b}

Intervalos abiertos.

( a, b ) = { x ó € R/ a < x < b}

Intervalo semi abierto / semi cerrado.

[a, b) = { x € R/ a ≤  x < b}

Intervalo con extremo infinito.

(-∞ , a] = {x € R/ x < a}

ECUACIONES

Identidad o igualdad absoluta.

Es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el signo = y es verdadero para todos los valores  de las variables del conjunto referencial que corresponda ej:

2.5 = 10

3.2 = 6

Ecuaciones.

Una ecuación o igualdad condicional es verdadera solo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda Ej:

x - 4= 2
x = 2+4
x = 6

Propiedades que deben cumplir las igualdades.

1) ∀ x, y € R(x=y) ≡ (y=x)
2) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x+c = y+c)
3) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x.c = y.c)
4) ∀ x, y € R -{0}, (x=y) ≡ (xⁿ=yⁿ), h € Z
5) ∀ x, y € R, (xy=0) ≡ (x=0 v y=0)

Ecuaciones lineales

P(x) ax + b = 0
         2x + 3 = 8
         2x = 8 - 2
         2x = 6
           x = 6/2
           x = 3    R//
Ap(x) = {3}

Ecuaciones Cuadráticas o de 2do. Grado

Es aquella que puede representarse con un predicado de la forma P(x): ax² + bx + c = 0 € R ^ a ‡ 0.
Formas:
1) Factorización
2) Fórmula General

EJERCICIOS:

por factorización
P(x): x² + 5x -6 = 0
         (x+6) (x-1) = 0
         x+6=0  v  x-1= 0
         x= -6        x=1     R//

Comprobación
reemplazamos los 2 resultados en el ejercicio asi:
   x² + 5x -6 = 0
(-6)² + 5(-6) -6 = 0
36 - 30 - 6= 0
36 - 36 = 0
0 = 0     R//

(1)² + 5(1) - 6 = 0
1 + 5 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0    R//

Método Aspe
x² + 5x - 6 = 0
↓             ↓
x             6  = 6x
x            -1  = -x
                       ▬
                      5x

DISCRIMINANTE.

En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático

       es       .

El discriminante del polinomio cúbico

       es       .

Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.

El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.

Fórmula general

16x² - 24x + 9 = 0
a = 16
b = -24
c = 9

⌂ = b² - 4ac
⌂ = (-24)² - 4(16) (9)
⌂ = 576 - 576
⌂ = 0



x = - (-24) ± √(-24)² - 4(16)(9)
       ________________________
                    2(16)


x=  24± √576-576
     _____________
             32

x= 24±√0

x =24/32

x = 3/4    R//

INECUACIONES O DESIGUALDADES

Es una desigualdad algebraica en la que sus 2 miembros aparecen ligados por los signos.

2x + 1 > 13
2x > -1 +13
2x > 12
 x > 12/2
 x > 6

gráfica

-∞____________________________________(//////////  ∞ +
    '          '          '          '          '          '          '       
  -3       -2       -1         0                             6

intervalo
(6, + ∞)

comprobación
2(6) + 1 > 7
13 > 7 se cumple

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número A se escribe │a│, es al mismo número A cuando es positivo o 0,
y opuesto de a

│a│ = { -a   si a < 0        a  si a > 0

│-8│ = 8
 │ 8│ = 8

EJERCICIO

│x│ > 6

 x > -6
 x < 6
(-6 , 6 )

           (_______________________)
           '          '          '          '          '
          -6                  0                   6  

Propiedades de los valores absolutos.

* Los números opuestos tiene igual valor absoluto.

                │5│ = │-5│  = 5

* El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos 
de los factores.

            │a.b│ = │a│  .  │b│

            │5 . (-3)│  =  │5│  .  │-3│

            │-15│ = 5 . 3
              
                 15 = 15

* El valor absoluto de una suma es ≤ que la suma de los valores absolutos de sus
sumandos.

                │a+b│ ≤  │a│  +  │b│

                │5 + (-3)│  ≤  │5│  +  │-3│
   
                         │2│  ≤   5 + 3

                              3 ≤ 8