RESEÑA HISTÓRICA
En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
DEFINICIÓN DE NÚMEROS
En la era primitiva, a causa de la necesidad de representar cantidades y así resolver los problemas que se representan en nuestro alrededor.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas.
Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
La facultad de contar está implícita en la aparición del número. Se mencionó que el hombre hacía marcas, aunque a veces los seguimos haciendo, para representar ciertas cantidades, pues esta actividad, que perdura desde tiempos inmemoriales, se formalizó en cada cultura con el número.
El hombre advirtió que todos los conjuntos de objetos o de seres tienen una cualidad en común, con independencia de la naturaleza de los objetos o de los seres que lo componen. La cualidad se denomina
número.
Un ejemplo práctico reside en que el hombre al realizar tantas marcas, juntar tantas piedras, hacer tantos nudos deduce racionalmente, según la contabilidad de cada objeto, que dichas contabilidades conllevan a “representaciones”, que no depende de qué estuviese contando, sino más bien del número de marcas,
de piedras, de nudos, etc. Entonces se estableció un símbolo para cada contabilidad respectiva.
De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.
De ahí que la notación que utilizamos hoy en día, que en general, fueron traídos de la India a Europa, por los árabes en el siglo X.
Los números han pasado por un largo proceso de evolución, por ejemplo el grupo griego liderado por Pitágoras se dieron cuenta de la necesidad de los números irracionales.
Los Números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600.
Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor( encanjamientos sucesivos) y el análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto siendo resultado de las aportaciones por matemáticos como Descartes, Newton, etc.
En matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente los axiomas se eligen de entre las consideradas "verdades evidentes" porque permiten deducir las demás fórmulas.
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema
generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego
existe una conclusión, una afirmación matemáticas, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas.
RAZONES
INTERVALOS
Los Números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600.
Con todo esto el estudio de los números para su construcción y sistematización en el siglo XIX fue logrado con la teoría de conjuntos de Georg Cantor( encanjamientos sucesivos) y el análisis matemático de Richard Dedekind, todo esto siendo resultado de las aportaciones por matemáticos como Descartes, Newton, etc.
LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO
Axioma de los números reales
En matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente los axiomas se eligen de entre las consideradas "verdades evidentes" porque permiten deducir las demás fórmulas.
Teoremas de los números reales
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema
generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego
existe una conclusión, una afirmación matemáticas, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas.
RAZONES Y PROPORCIONES
La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.
PROPORCIONES
Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:
a/b=c/d o a:b::c:d
Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.
PROPIEDADES
A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a×d=b×c
B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro MEDIO.
b= a×d͟∕c
C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.
a=b×c∕d
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?
1/3=1200/x → x=1200×3/1 x= $3600
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.
INTERVALOS
Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendido entre 2 datos: A y B, se llaman extremos de los intervalos
[a, b) = { x € R/ a ≤ x < b}
TIPOS DE INTERVALOS:
Intervalos cerrados.
[ a, b ] = { x € R/ a ≤ x ≤ b}
Intervalos abiertos.
( a, b ) = { x ó € R/ a < x < b}
Intervalo semi abierto / semi cerrado.
[a, b) = { x € R/ a ≤ x < b}
Intervalo con extremo infinito.
(-∞ , a] = {x € R/ x < a}ECUACIONES
Identidad o igualdad absoluta.
Es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el signo = y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda ej:
2.5 = 10
3.2 = 6
Una ecuación o igualdad condicional es verdadera solo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda Ej:
x - 4= 2
x = 2+4
x = 6
1) ∀ x, y € R(x=y) ≡ (y=x)
2) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x+c = y+c)
3) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x.c = y.c)
4) ∀ x, y € R -{0}, (x=y) ≡ (xⁿ=yⁿ), h € Z
5) ∀ x, y € R, (xy=0) ≡ (x=0 v y=0)
P(x) ax + b = 0
2x + 3 = 8
2x = 8 - 2
2x = 6
x = 6/2
x = 3 R//
Ap(x) = {3}
Es aquella que puede representarse con un predicado de la forma P(x): ax² + bx + c = 0 € R ^ a ‡ 0.
Formas:
1) Factorización
2) Fórmula General
EJERCICIOS:
por factorización
P(x): x² + 5x -6 = 0
(x+6) (x-1) = 0
x+6=0 v x-1= 0
x= -6 x=1 R//
Comprobación
reemplazamos los 2 resultados en el ejercicio asi:
x² + 5x -6 = 0
(-6)² + 5(-6) -6 = 0
36 - 30 - 6= 0
36 - 36 = 0
0 = 0 R//
(1)² + 5(1) - 6 = 0
1 + 5 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0 R//
Método Aspe
x² + 5x - 6 = 0
↓ ↓
x 6 = 6x
x -1 = -x
▬
5x
Fórmula general
16x² - 24x + 9 = 0
a = 16
b = -24
c = 9
⌂ = b² - 4ac
⌂ = (-24)² - 4(16) (9)
⌂ = 576 - 576
⌂ = 0
x = - (-24) ± √(-24)² - 4(16)(9)
________________________
2(16)
x= 24± √576-576
_____________
32
x= 24±√0
x =24/32
x = 3/4 R//
Es una desigualdad algebraica en la que sus 2 miembros aparecen ligados por los signos.
2x + 1 > 13
2x > -1 +13
2x > 12
x > 12/2
x > 6
gráfica
-∞____________________________________(////////// ∞ +
' ' ' ' ' ' '
-3 -2 -1 0 6
intervalo
(6, + ∞)
comprobación
2(6) + 1 > 7
13 > 7 se cumple
El valor absoluto de un número A se escribe │a│, es al mismo número A cuando es positivo o 0,
y opuesto de a
│a│ = { -a si a < 0 a si a > 0
│-8│ = 8
│ 8│ = 8
EJERCICIO
│x│ > 6
x > -6
x < 6
(-6 , 6 )
(_______________________)
' ' ' ' '
-6 0 6
* Los números opuestos tiene igual valor absoluto.
│5│ = │-5│ = 5
* El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores.
│a.b│ = │a│ . │b│
│5 . (-3)│ = │5│ . │-3│
Ecuaciones.
Una ecuación o igualdad condicional es verdadera solo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda Ej:
x - 4= 2
x = 2+4
x = 6
Propiedades que deben cumplir las igualdades.
1) ∀ x, y € R(x=y) ≡ (y=x)
2) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x+c = y+c)
3) ∀ x, y € R ^ ∀ c € R, (x=y) ≡ (x.c = y.c)
4) ∀ x, y € R -{0}, (x=y) ≡ (xⁿ=yⁿ), h € Z
5) ∀ x, y € R, (xy=0) ≡ (x=0 v y=0)
Ecuaciones lineales
P(x) ax + b = 0
2x + 3 = 8
2x = 8 - 2
2x = 6
x = 6/2
x = 3 R//
Ap(x) = {3}
Ecuaciones Cuadráticas o de 2do. Grado
Es aquella que puede representarse con un predicado de la forma P(x): ax² + bx + c = 0 € R ^ a ‡ 0.
Formas:
1) Factorización
2) Fórmula General
EJERCICIOS:
por factorización
P(x): x² + 5x -6 = 0
(x+6) (x-1) = 0
x+6=0 v x-1= 0
x= -6 x=1 R//
Comprobación
reemplazamos los 2 resultados en el ejercicio asi:
x² + 5x -6 = 0
(-6)² + 5(-6) -6 = 0
36 - 30 - 6= 0
36 - 36 = 0
0 = 0 R//
(1)² + 5(1) - 6 = 0
1 + 5 - 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0 R//
Método Aspe
x² + 5x - 6 = 0
↓ ↓
x 6 = 6x
x -1 = -x
▬
5x
DISCRIMINANTE.
En álgebra, el discriminante de un polinomio es una cierta expresión de los coeficientes de dicho polinomio que es igual a cero si y solo si el polinomio tiene raíces múltiples en el plano complejo. Por ejemplo, el discriminante del polinomio cuadrático
es 
.
El discriminante del polinomio cúbico
es 
.
Este concepto también se aplica si el polinomio tiene coeficientes en un cuerpo que no está contenido en los números complejos. En este caso, el discriminante se anula si y solo si el polinomio no tiene raíces múltiples en su cuerpo de descomposición.
El concepto de discriminante ha sido generalizado a otras estructuras algebraicas además de los polinomios, incluyendo secciones cónicas, formas cuadráticas y cuerpos de números algebraicos. Los discriminantes en la teoría de números algebraicos están fuertemente relacionados y contienen información sobre ramificaciones. De hecho, los tipos de ramificación están relacionados con tipos más abstractos de discriminantes, lo que convierte esta idea algebraica en capital en muchas aplicaciones.
Fórmula general
16x² - 24x + 9 = 0
a = 16
b = -24
c = 9
⌂ = b² - 4ac
⌂ = (-24)² - 4(16) (9)
⌂ = 576 - 576
⌂ = 0
x = - (-24) ± √(-24)² - 4(16)(9)
________________________
2(16)
x= 24± √576-576
_____________
32
x= 24±√0
x =24/32
x = 3/4 R//
INECUACIONES O DESIGUALDADES
Es una desigualdad algebraica en la que sus 2 miembros aparecen ligados por los signos.
2x + 1 > 13
2x > -1 +13
2x > 12
x > 12/2
x > 6
gráfica
-∞____________________________________(////////// ∞ +
' ' ' ' ' ' '
-3 -2 -1 0 6
intervalo
(6, + ∞)
comprobación
2(6) + 1 > 7
13 > 7 se cumple
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número A se escribe │a│, es al mismo número A cuando es positivo o 0,
y opuesto de a
│a│ = { -a si a < 0 a si a > 0
│-8│ = 8
│ 8│ = 8
EJERCICIO
│x│ > 6
x > -6
x < 6
(-6 , 6 )
(_______________________)
' ' ' ' '
-6 0 6
Propiedades de los valores absolutos.
* Los números opuestos tiene igual valor absoluto.
│5│ = │-5│ = 5
* El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos
de los factores.
│a.b│ = │a│ . │b│
│5 . (-3)│ = │5│ . │-3│
│-15│ = 5 . 3
15 = 15
* El valor absoluto de una suma es ≤ que la suma de los valores absolutos de sus
sumandos.
│a+b│ ≤ │a│ + │b│
│5 + (-3)│ ≤ │5│ + │-3│
│2│ ≤ 5 + 3
3 ≤ 8
15 = 15
* El valor absoluto de una suma es ≤ que la suma de los valores absolutos de sus
sumandos.
│a+b│ ≤ │a│ + │b│
│5 + (-3)│ ≤ │5│ + │-3│
│2│ ≤ 5 + 3
3 ≤ 8
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