Funciones

FUNCIONES

CONTENIDO

RELACIONES Y FUNCIONES 

   Reseña Histórica   par ordenado   producto cartesiano de conjuntos   relaciones binarias   gráfica de relaciones
FUNCIONES DE VARIABLE REAL

Definicióndominio y rango de una función
TIPOS DE FUNCIONES

Clasificación de las funcionesDiscusión de una función
TÉCNICAS DE GRAFICACION

Proceso de graficación de una funcióntrazado de gráficas especiales

OPERACIONES CON FUNCIONES

igualdad de funcionessuma de funcionesdiferencia de funcionesmultiplicación de funcionescociente de funciones composicion de funcionesfuncion biyectivafuncion creciente, decreciente y monótonafuncion inversa
APLICACIONES

RESEÑA HISTORICA

Según García (2001) el término función fue utilizado por primera vez en 1637 por el matemático y filosofo francés René Descartes (1596-1650), él mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultanea, las ecuaciones que las representan, Descartes lo uso por primera vez para designar una potencia xn de la variable x. 

“En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente”.

En la obra Introduction in Analysis Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes''. como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce, pues siete años después, en el prólogo de las Instituciones, calculo diferencial, afirmó:''Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las ultimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les llama funciones de x''. 

“En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china”. 

Según García (2001), hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet. Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, ..., xk.

“Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos. La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x) = x2 - 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales. Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 32 - 3 • 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(p) = 4”.

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación. Sean X y Y dos conjuntos con elementos cualquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable Y representa un elemento del conjunto Y. Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y. 

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x2 - 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 - 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función. Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X1 sobre Y.

RELACIONES Y FUNCIONES

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Rango.

Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.

podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

PAR ORDENADO

Es un conjunto de 2 elementos a  y  b,  que tienen un orden. Al elemento a se lo denomina primera componente y, al elemento  b se lo denomina segunda componente. se lo representa de la siguiente manera:

(a,b) par ordenado

PLANO CARTESIANO

Sean a y b conjuntos no vacíos vamos a dominar producto cartesiano entre a y b, al conjunto de todos los pares osdenados cuya primera componente pertenece al conjunto a, y la segunbda componente pertenecen al grupo b, su representación es:
AxB= {Cx,y) / x € A) ^ (y € b)}

x € A                (x,y) € A x B
y € B

 

A = { ☺, ☻, ♥}

B = {♦,♣}

AxB = {(☺,♦), (☺,♣),(☻,♦),(☻,♣),(♥,♦),(♥,♣)}

N(A) = 3

N(B) = 2

N(AXB) = (N(A) N(B))

DOMINIO DE UNA RELACION

El dominio de una relación son todos los conjuntos del elemento de partida que tiene relación con el conjunto de llegada, su representación simbólica es: DomR

RANGO

Conocido también como co-dominio. Son todos los elementos del conjunto de llegada que tienen relación con el dominio del conjunto de partida. Su representación simbólica es:

rg R.

 

DomR = {♥,☆}

Rg R = {□,◊,Δ}

TIPOS DE FUNCIONES

INYECTIVA.

 F Es una función inyectiva si a cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio, además es necessario que N(A) ≤ N(B).

A = {2,4,6,8}

B = {2,5,7,9,10}

SOBREYECTIVA.

F es una función sobreyectiva si el rango es B, además es necesario que N(A) ≥ N(B)

A = { 6,8,10,12,14}
B = { 1,2,3,4}

GRAFICA

Es el conjunto de puntos o pares ordenados de a son b tales que sus cordenadas (x,y) pertenecen a F.

CRITERIO DE LA RECTA VERTICAL

El criterio de la recta vertical dice que una curva en el plano cartesiano representa una función, si cualquier recta vertical intersecta la gráfica, como máximo en un punto.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVA

f es inyectiva si para cualquier elección de un número x que pertenece al 
dominio de f, existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras, 
ningún valor y en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio.

Estas funciones también son denominadas uno a uno.

Una función f: X → Y es inyectiva, si y sólo si para cualquier elección
de números x1 y x2, si x1 ≠ x2 en el dominio de f, entonces f (x1) ≠ f (x2),
esto es:

∀x1, x2 ∈ X [(x1 ≠ x2) → ( f (x1) ≠ f (x2))]

FUNCION SOBREYECTIVA

f es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados
con por lo menos un elemento del dominio. Por lo tanto, el rango de f debe coincidir
con el conjunto de llegada.
Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva. Para concluir que
una función f: X → Y es sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de
llegada Y.

FUNCIÓN CRECIENTE, DECRECIENTE Y MONÓTONA

Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo.
.

Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x₁,x₂ del intervalo,
.

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo[a,b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a,b].

En la gráfica anterior puede observarse que la función f es:

1.) Creciente en los intervalos(a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

una función entre conjuntos ordenados se dice monótona (o isótona) si conserva el orden dado. Las funciones de tal clase surgieron primeramente en cálculo, y fueron luego generalizadas al entorno más abstracto de la teoría del orden. Aunque los conceptos generalmente coinciden, las dos disciplinas han desarrollado una terminología ligeramente diferente; mientras en cálculo se habla de funciones monótonamente crecientes y monótonamentedecrecientes (o simplemente crecientes y decrecientes), en la teoría del orden se usan los términos monótona y antítona, o se habla de funciones que conservan e invierten el orden.

FUNCIONES PARES E IMPARES

Algunas funciones pueden ser simétricas respecto a una recta o a un punto.

Si la recta a la cual se hace referencia es el eje Y, tenemos funciones pares;

mientras que si el punto al cual se hace referencia es el origen de coordenadas,

tenemos funciones impares.

Una función f es par si para todo x en su dominio, el número −x también

está en el dominio y además, f (−x) = f (x).



FUNCION INVERSA

Ya sabes que si f es 1-1 entonces existe su inversa que se denota por f ^–1. 

Debes recordar:

 el dominio de f es el recorrido de f ^–1 el recorrido de f es el dominio de f ^–1  ( x, y ) es un punto de la gráfica de f  y , x ) es un punto de la grá