Trigonometria

CONTENIDO

• Sistemas de medidas angular

• Conversiones de sistemas de medidas

• Circulo trigonométrico

• Razones trigonométricas de ángulos en posicion normal

• Lineas trigonométricas 

• Signos de las razones trigonométricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

• Definición de identidades trigonométricas

• Identidades trigonométricas principales

• identidades trigonométricas Auxiliares

RESEÑA HISTÓRICA

La historia de la trigonometría comienza con los Babilonios y los Egipcios. Estos últimos establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos.

Durante muchos siglos, la trigonometría de Tolomeo fue la introducción básica para los astrónomos, quién aparece 300 años después de la civilización griega.  El teorema de Menelao utilizado para resolver triángulos esféricos fue autoría de Tolomeo. Al mismo tiempo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. 

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. 

El occidente se familiarizó con la trigonometría Árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano.

A principios del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

ANGULOS Y SUS MEDIDAS

SISTEMA DE MEDIDA ANGULAR

Los ángulos se miden en grados y en radianes. En el sistema sexagesimal la unidad de medida es el grado ° y en el sistema cíclico la unidad de medida de los ángulos es el radián. 

• El Grado: Se define como 1/360 de la rotación total. 

• 1/6 de giro en sentido contrario de las manecillas del reloj.

• 4/9 de giro en el mismo sentido de las manecillas del reloj. 

• El Radián: Se define como la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide igual que un radio. En toda circunferencia hay aproximadamente 6.28 radianes, es decir, 2π radianes.

Un grado sexagesimal es igual a 60 minutos (1°=60´); un minuto es igual a 60 segundos (1´= 60 ")

Ejemplo: Encontrar la medida en grados de cada ángulo y representarlo en posición normal.

Solución: 1/6 x 360 = 60°

Solución: 4/9 x (-360) = -160°

                                                    

CONVERSIONES DE SISTEMAS DE MEDIDAS

Las dos relaciones siguientes permiten calcular en grados la amplitud de cualquier ángulo medido en radianes; o la amplitud en radianes de cualquier ángulo medido en grados:

360 grados = 2 π radianes

180 grados = π radianes

Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se divide por 180°.

Ejemplo: Transformar 45 grados a π radianes.

Solución:  45° x π radianes = π radianes

                      180°                    4

Para transformar radianes a grados se multiplican los π radianes por 180° y luego se divide por π radianes.

Ejemplo: Transformar 5 π radianes  a grados sexagesimales.

                                      3

Solución: 5 π radianes  x        180°       = 300°

                     3                         π radianes

CIRCULO TRIGONOMÉTRICO

Es un círculo unitario que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio mide la unidad. Es una herramienta que se utiliza en conceptos de trigonometría y además nos ayuda a fundamentar las funciones trigonométricas.

Con el círculo trigonométrico podemos obtener el valor de las razones trigonométricas para cierto ángulo, además también se puede utilizar para obtener las identidades pitagóricas.

Para obtener las funciones trigonométricas se toma como base un círculo de radio 1 con centro en el origen, se toma un ángulo medido a partir del eje x positivo y en sentido contrario de las manecillas del reloj.

CIRCULO TRIGONOMÉTRICO Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

                                      

Partiendo del ángulo α y la recta r se obtiene un punto P, si se traza una línea perpendicular desde ese punto y hacia el eje Y se obtiene un segmento OB que se denomina seno de α.

Coseno de α

Partiendo del ángulo α y la recta r se obtiene un punto P, si se traza una línea perpendicular desde ese punto y hacia el eje X se obtiene un segmento OA que se denomina coseno de α.

Tangente de α

Una línea tangente es la que solo toca en un punto a la circunferencia.

Cotangente de α

Si trazamos una recta FD que sea tangente al punto F y que toque a la recta OD, FD es cotangente de α.

Cuadrantes del círculo trigonométrico

Si dividimos el círculo en 4 partes iguales a cada parte se le conoce como cuadrante, en cada cuadrante las funciones seno, coseno , tangente y cotangente cambian su valor.

Primer cuadrante

Si aumenta el ángulo α disminuye el valor del coseno y  de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente y del seno.

Segundo cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno, de la tangente y de la cotangente.

Tercer cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno, del coseno y de la cotangente pero aumenta el valor de la tangente.

Cuarto cuadrante

Si aumenta el ángulo α, disminuye el valor del seno y de la tangente pero aumenta el valor del coseno y de la cotangente.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

Ángulo en Posición Normal

Llamado también ángulo en posición canónica o estándar; es aquel ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano, su lado inicial coincide con el semieje positivo de abscisas y su lado se ubicará en cualquier región del plano, siendo el que indique a que cuadrante pertenece dicho ángulo. En el gráfico adjunto por ejemplo : a, b y q son ángulos en posición normal, cumpliéndose: a Î IC; b Î IIC; q Î IIIC.
                                                          
Ángulos Cuadrantales

Se va a denominar ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes cartesianos. Las medidas de estos ángulos es siempre múltiplo de 90º.
Estos ángulos no pertenecen a cuadrante alguno (fig. 1)


Ángulos Coterminales 

Son aquellos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado final; y su diferencia de medidas es siempre múltiplo de 360º. (fig.2).

                                 

Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en Posición Normal

Para definir o hallar las R.T. de un ángulo en posición normal; se debe conocer un punto perteneciente a su lado final.
En el gráfico; para "a"; tendremos





Por ejemplo:




Se debe notar que ahora las R.T. pueden tener signo negativo; dependiendo del cuadrante en el que se ubique el ángulo considerado.

 Signos de las R.T.

Dependiendo del cuadrante en el que se ubique un ángulo en posición normal; podemos establecer el siguiente criterio práctico para los signos




Propiedad

Las Razones trigonométricas de los ángulos coterminales son respectivamente iguales.

 R.T. de los Ángulos Cuadrantales

Las R.T. de los ángulos cuadrantales principales se calculan con las mismas definiciones aplicadas a cualquier ángulo en posición normal. El resultado se muestra en el siguiente cuadro:

LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

Se llama circunferencia goniométrica a aquélla que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.
En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
QOP y TOS son triángulos semejantes.
QOP y T'OS′ son triángulos semejantes.



El seno es la ordenada.
El coseno es la abscisa.
-1 ≤ sen α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

                              



Los signos de las funciones trigonométricas varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren, aquí te mostraré que signo tiene cada una en cada cuadrante.

sen α = c.opuesto/hipotenusa

cos α = c.adyacente/hipotenusa

tang α = c.opuesto/ c.adyacente

Primer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente está sobre el eje “x” y el cateto opuesto sobre el eje “y”, la hipotenusa es el radio de la circunferencia.

Como el c, opuesto, c. adyacente y la hipotenusa son positivos, todas las funciones trigonométricas son positivas en el primer cuadrante.

Segundo cuadrante

En este cuadrante, el cateto adyacente es negativo y el cateto opuesto es positivo también es positiva la hipotenusa. Por lo que el coseno, la tangente, la secante y la cotangente son negativas.

Tercer cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente y el cateto opuesto son negativos y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto la tangente y la cotangente resultan positivas y las demás negativas.

Cuarto cuadrante

En este cuadrante el cateto adyacente es positivo y el cateto opuesto es negativo y la hipotenusa es positiva. Por lo tanto solo el coseno y la secante serán positivas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Definición de identidades trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Identidades Trigonométricas principales

                                        

Identidades Pares o Impares

sen(-x) = - sen(x)

cos(-x) =  cos (x)

tan(-x) = - tan (x)

cot(-x) =- cot (x)

sec (-x) = sec (x)

csc (-x) = - csc (x)

Identidades trigonométricas auxiliares