Matematicas Para Sistemas

NUMERO COMPLEJOS

RESEÑA HISTORICA

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.

El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Los números complejos tienen a la Ingeniería Eléctrica como campo fundamental de aplicación práctica, no obstante están presentes en otras disciplinas científicas.

DEFINICION DE NUMEROS COMPLEJOS

Un número complejo, es una entidad matemática que viene dada por un par de números reales, el primero x se denomina la parte real y al segundo y la parte imaginaria. Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos del plano, o bien, en la forma usual de x+yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada de menos uno. La clase Complejo constará de dos miembros dato, la parte real real, y la parte imaginaria.

FORMA RECTANGULAR DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

UNIDAD IMAGINACION

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³= −i

i⁴ = 1

Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.

Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i²²

i²²= (i⁴)⁵ · i² = − 1

i²⁷= −i

CONJUGADO DE NUMEROS COMPLEJO

Se llama conjugado de un número complejo al número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

Representando el número complejo a + bi y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

Propiedades de los conjugados

· Primera propiedad

El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.

Demostración:

En efecto si z = a + bi se tiene que

= a - bi , de donde,

= a + bi = z

· Segunda propiedad

Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.

Esto se expresa escribiendo que

Demostración:

Tomando z = a + bi y z' = c + di , se tiene:

= a + bi y

' = c - di , con lo que

' = (a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i

Por otra parte:

y es fácil ver que esta expresión coincide con la anterior.

· Tercera propiedad

El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:

Demostración:

Si z = a + bi y z = c + di se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i , cuyo conjugado es

= (ac - bd) - (ad + bc)i .

Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que

' = (a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .

El resultado es igual al anterior.

· Cuarta propiedad

Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.

Demostración:

Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado. Esto equivale a que

a + bi = a - bi

Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.

· Quinta propiedad

La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.

Demostración:

(a + bi ) + (a - bi ) = 2a

(a + bi ) (a - bi ) = a² - (bi )² = a² + b²

OPERACIONES

Suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica.

Sean los números complejos z = a + bi y w = c + di. Definimos:

Suma.- Para sumar dos o más números complejos se suman las partes real e imaginaria de cada uno de ellos.

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i ² = -1.

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

Resta: Siendo

como antes, se tiene que

$\displaystyle z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ I

IGUALDAD DE NUEMROS COMPLEJOS

SUMA CON NUMEROS COMPLEJOS

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =

= (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i

RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

( 5 + 2 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 4) + (2 + 2)i = 1 + 4i

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) =

=10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.

Ejercicios